Aula 1: Exemplos, Teorma de Ponto Fixo de existencia e unicidade (Picard) (18/03/2014 - 18/03/2014)

Aula 2: Comparaçao entre os teoremas de Picard e Peano. Contra-exemplos: x'=sqrt(|x|), x(0)=0; (Mostrando que a cond. Lip2 e crucial para a unicidade) x'=xln(x), x(0)=0; Mostrando que a cond. Lip2 é apenas suficente mas não necessaria para unicidade. Interpretacao geometrica da unicidade (trajetorias não se cortam). Corolario do Teorema de Schauder: T(S) subset S, T continua, T compacta; S convexo, limitado e fechado então existe pelo menos um ponto fixo. Exemplo: T(a_1,a_2, ...) = R(a) + sqrt(1 - ||a||) e_1, com R(a_1, a_2, .. )= (0, a_1, a_2, ...) . Mostrando que a condicao T compacta eh crucial para garantir a existencia de PF. Caso X tem dimensao finita tem-se o teorema de Brower (T compacta fica como consequencia de T continua); Exemplo T(x_1,x_2)=(x_1, -x_2) e S bola unitaria centrada em (0,0) de R^2. Tem-se Fix(T)=(-1,1)x{0}. (20/03/2014 - 20/03/2014)

Aula 3: Prova do Teorema de Peano. (25/03/2014 - 25/03/2014)

Viagem (27/03/2014 - 10/04/2014)

Aula 4: Introducao a prolongamento de soluçoes (15/04/2014 - 15/04/2014)

Não houve aula - Quinta-feira Santa (17/04/2014 - 17/04/2014)

Aula 5: Exercicio 11 p. 39: Soluçoes da eq. de Van der Pol são prolongáveis a + infinito. Tarefa para casa: exercicios 6 (erro tipografico neste exercicio não há y', mas sim, apenas y),7 e 8 da página 11. (22/04/2014 - 22/04/2014)

Aula6: Prova do Teorema de existencia e unicidade global. [solucoes maximais que não são globais necess. abandonam qq. compacto contido no dominio da f]. Exemplo: solucoes maximais do problema x'=f(t,x)=x^2 dependem de t_o e x_o. (24/04/2014 - 24/04/2014)

Aula7: Exercicio 6. p.39: provar que as solucoes do PVI com 2n variaveis: x'=g(x); y'=f(x) y. são prolongaveis a +infty se g eh Lipschitz global de Rn em Rn e f eh C1 de Rn em R. A solucao do exercicio usa o teo2.8 combinado com o Lema de Gronwall. (29/04/2014 - 29/04/2014)

Feriado: Dia do Trabalho (01/05/2014 - 01/05/2014)

Aula 8: Exercicio 4 ii. pagina 38: x'=g(x) x(0)=0, com g(x) = 0 se x=0 e g(x) = - x ln |x|, embora não seja Lip2 em qualquer vizinhaca do (0,0) tem unicidade de solucao. Suponha que houvesse solucao obtemos \int 1/g(x) dx = t* - t dando absurdo \int 0^{1/2} 1/g(x) dx = finito (06/05/2014 - 06/05/2014)

Exercicios: f:R\to R limitada Sejam H={\phi_1, \phi_2, ... \phi_n, ...} solucoes da edo x'=f(x) e supnho que exista um t_o\in [0,1] satisfazedo existe o limite \lim \phi_n(t_o)=a. Mostre o fecho de H é compacto e os pontos do fecho também satisfazem a edo x'=f(x). (08/05/2014 - 08/05/2014)

Primeira Avaliacao (13/05/2014 - 13/05/2014)

Sistemas lineares: O conj. solucao de sistemas lin. homogeneos formam um subespaco vetoria de dimensao n. (15/05/2014 - 15/05/2014)

Ex1: No isomorfismo entre espaço vetoriais a aplicação S_{t_o}^{ } está bem definida graças a existencia, unicidade e globalidade da solucao do sistema linear x'=A(t)x. Ex2.: devido a tal isomorfismo é fácil descrever o conjunto solucao Sigma_{A(t)} basta para isto resolver n PVI's com condicoes iniciais que forma um base de R^n, exemplo e_1, .... e_n. Ex2. Devido ao isomorfismo se tivermos phi_1, ....., phi_n solucoes da edo x'=A(t)x então elas serão funcoes l.i's se e somente se os vetores de R^n phi_1(to), ...., phi_n(to) forem l.i.'s. Moral: li em um ponto to LI sempre quando phi's são solucoes. Ex: n=2 \phi_1 = [1, t]^T e \phi_2=[t t^2]^{t} não podem ser solucoes de um edo x'=A(t) x pois tais funcoes são li's mas no ponto t-o=0 os vetores são l.d's. Ex4.: Uma formula que dá mais informação que "Li em to Li sempre" é a formula de Liouville: det X(t) = det (X(to)) e^{\int_{to}^{t} Tr{A(s)} ds.}. Isto ocorre, pois n vetores de R^n são li's se e so se det[ vetores colunas] \neq 0. A dedução da fórmula consistem dezudir: d/dt det(X(t)) = Tr{A(t)} det(X(t)), e depois faze-la para o caso n=2 e generalizá-la pra n qualquer. (20/05/2014 - 20/05/2014)

Matriz Fundamental principal. Operatodr de Evolução temporal de t_o para t (22/05/2014 - 22/05/2014)

Exponencial de Matriz (27/05/2014 - 27/05/2014)

Inicio da prova do Teo. de Floquet. (29/05/2014 - 29/05/2014)

Fim da prova do teorema de representacao de Floquet para coeficientes periodicos. (03/06/2014 - 03/06/2014)

Introdução a estabilidade de pts de equilibrio. Estudo do pendulo dois de seus ponts de equilibrio. Definicoes para sistemas Lineares (Limitacao, estabilidade e estabilidade assintótica) (05/06/2014 - 05/06/2014)

Prova do Teorema: Em sistemas lineares (autônoms ou não) vale: Todas solucoes são estaveis ( equiv. ao pto de equilibrio 0 ser estável) se, e somente se, todas as solucoes são limitadas. (10/06/2014 - 10/06/2014)

Estabilidade de sist's lineares com coeficientes constantes. Caracterizacao via sinal da parte real dos autovalores da matriz A. (12/06/2014 - 12/06/2014)

Revisao através de exercicios. (17/06/2014 - 17/06/2014)

Feriado de Corpus Christis (19/06/2014 - 19/06/2014)

2a. Avaliação. (24/06/2014 - 24/06/2014)

Exemplos de aplicações do teorema de Liapunov (26/06/2014 - 26/06/2014)

Inicio da prova do teorema de Liapunov (01/07/2014 - 01/07/2014)

Fim da Prova do Teorema de Liapunov (03/07/2014 - 03/07/2014)

Prova do segundo Teorema de Liapunov (08/07/2014 - 08/07/2014)

Eq. matricial de Liapunov & Estabilidade de sistemas Lineares com coef's constantes. (10/07/2014 - 10/07/2014)

Criterio de inexistência de orbitas periodicas (15/07/2014 - 15/07/2014)

3a. Avaliação (17/07/2014 - 17/07/2014)