Demonstração da Identidade de Liouville para o caso n=2; Tópico: PVI-Matriciais. Prop 1: Se \varphi_1, \dots \varphi_n:J\to \R^n são soluções da EDO-vetorial x'=A(t) x se e somente se a matriz \Phi(t) que tem estas funções como colunas é solução do PVI-matricial X'=A(t) X; Prop. 2: Tem-se a seguinte caracterização para o conjunto solução do PVI-vetorial x'=A(t)x: \Sigma_{A(t)}={ \Phi(t) c: c\in R^n}, onde \Phi(t) é qualquer matriz solução da EDO-matricial X'=A(t)X com funções colunas LI's, ou equiv, com Phi(t_0) matrix inversível. Definições: Qualquer matriz \Phi(t) que satisfaz a EDO-matricial X'=A(t)X é dita matriz soluçao; Alem disto se suas funçoes colunas forem LI's(o que é equiv a \Phi(t_o) ser matriz inversível para algum t_o\in J) neste caso \Phi(t) é dita ser matriz fundamental da EDO-matricial X'=A(t)X; Seja agora t_o\in J fixado, se Phi(t) satisfizer o PVI-Maticial X'=A(t)X; X(t_o)=Id, dizemos que ela a matriz fundamental principal relativa a matriz dos coeficientes A(t) e ao instante inicial t_o. Notação: Denota-se a matriz fundamental principal por apenas \Phi_p(t), ou para enfatizar a escolha do t_o (fixado), por K(t,t_o). Motivação da Notação K(t,t_o) é que a solução do PVI-vetorial x'=A(t) x; x(t_o)=x_o é dada por x(t)=K(t,t_o) x(t_o), assim, K(t,t_o) é a matriz que permite passar do vetor (inicial) no instante t_o para o vetor no instante t (arbitrário).e (06/05/2015 - 06/05/2015)