Teorema de Ascoli-Arzela

Exercicios Teorema do Ponto Fixo de Brower

Demonstracao do Teorema de Picard usando o teorema do ponto fixo de Banach

Exercicios para garantir que f eh localmente de Lipschitz

Demonstracao do Teorema de Peano (apenas existencia de sols) usando o teorema de Ascoli Arzela e o teorema do ponto fixo de Schauder (generalizacao para dimensao infinita do Teorema de Brower).

Não houve aulas

Exercicios ilustrando a aplicacao do teorema de prolongamento. Caso especial a equacao de Van der Pool (ex. 5 p. 36 da apostila texto). Neste exercio tb eh usada a ineq. de Gronwall com alpha maior ou igual a zero.

Demonstracao do teorema de prolongamento de solucoes.

Exercicio 3 p. 36; Exercicio 9, p. 37; Exercicio 6, p. 36;

Lema 1.9 (Desg. Gronwall) com alpha maior ou igual a zero. Exercicio que usa o teorema de Picard para estimar o tamanho de delta (2 delta = intervalo que a existencia e unicidade eh garantida). Ex 2ii (nao local Lipschitz) mas mesmo assim ha unicidade (usando para provar esta ultima o metodo de Osgood). Exercicio 8 p. 37.

1a Avaliacao

Mostrando a existencia global e uniciadade baseada no teorema 2.10; Sistemas homogêneos formam espaço vetorial.

Feriado: não houve aulas

Demonstracao da Equacao de Liouville para matriz solucao X

Diferentes provas de que exp(At) eh a matriz fundamental de sistemas lineares autônomos. Convergencia da séria sobre compactos (Toerema de Dini -derivacao termo a termo)

Estrutura da matriz fundamental de um sistema linear homogeneo com coeficientes periodicos

Exemplos lineares, mostrando a origem ser "estável"; "assintoticamente estável mas nao estável" e "instável".  Relacionando com a parte real dos autovalores.

Exercicio onde eh pedido a matriz periodica P e uma matriz B para um exemplo do sistema linear

Exemplos explicando a forma canonica de Jordan (autovalores repetidos, autovetores generalizados, teste do polinômio mínimo); Calculo da exponencial de matriz nestes casos (Parte nilpotente implica aparecimento de fatores do tipo t^p) Prova do teorema 4.5 (origem assintoticamente estavel se e so se Re autovalores estritamente negativa)

Resolvendo sistemas lineares usando o SFS (sistema fundamental de solucoes).

Exercicios: Ex 12, p. 55; Ex. 4, p. 54; Ex. 4 p. 54; Ex 5, p. 73;

Exercicios

2a. Avaliacao

Exemplos de como mostrar a estabilidade da origem usando uma funcao de Liapunov, mas sem usar o teorema de Liapunov. Tais exemplos consistem em encontrar constantes C e c e regioes onde W(x,y) e a norma Euclideana sao equivalentes sobre tais regioes e com constantes c e C. O exemplos foram: Equacao de van der Pool com mu negativo (origem atratora) e do pêndulo sem atrito.

Primeiro Teorema de Liapunov (estabilidade)

e de Dulac

conceitos de omega e alpha limites, ciclo limite, validade no R^3 e no Torus. Anulamento de campos de vetores no interior de uma orbita periodica

terceira avaliacao