Neste trabalho, estudamos ferramentas matemáticas usadas para a obtenção de superfícies multifocais que são usadas na correção da presbiopia (perda da capacidade de curvar nossa lente cristalina por causa do aumento na rigidez do cristalino). Para uma abordagem matemática do problema, consideramos o funcional de Willmore definido sobre o conjunto das superfícies compactas com bordo em R^3. Para o estudo do funcional de Willmore, primeiramente usamos métodos do cálculo de variações e provamos a existência de superfícies de revolução geradas por gráficos simétricos que são soluções da equação de Euler-Lagrange correspondente ao funcional, e que satisfazem condições de contorno adequadas. Posteriormente, tratamos o caso unidimensional, onde em algumas situações, soluções explícitas podem ser encontradas para problemas de valor de contorno adequados.

Neste trabalho iremos classificar e obter resultados de trivialidade para alguns sólitons geométricos. Para os sólitons de Ricci gradiente sem traço com curvatura seccional não negativa, provamos que, sob certa condição no gradiente da função potencial, ele deve ser trivial e estático. Depois abordamos os sólitons de Cotton completos e não compactos, onde aplicamos um princípio do máximo no infinito para obter no caso do sóliton não gradiente que, se |X| converge para zero  no infinito e a curvatura de Ricci é não positiva então ele deve ser trivial e localmente conformemente plano. Finalmente, num caso mais geral, obtemos um resultado de isometria para sólitons generalizados chamados q-sólitons onde $q$ é um (0,2)-tensor geral simétrico. Mais precisamente, dado um q-sóliton completo e não compacto, simplesmente conexo, satisfazendo uma identidade tipo Bianchi, e tal que X é um campo conforme e não Killing, então ele deve ser isométrico ao espaço Euclidiano. Como aplicações, obtemos tais resultados em: sólitons de Ricci, sólitons de Cotton, sólitons de Bach e sólitons de obstrução ambiente.

Introduzimos uma classe geral de espaços de Sobolev com pesos. Esses espaços são o ambiente natural para estudar uma classe geral de operadores, que inclui o operador poli-harmônico na forma radial. Uma desigualdade do tipo Sobolev para ordem superior é estabelecida e o problema variacional correspondente é analisado. Em certos casos exibimos as funções extremais e calculamos o valor da melhor constante associada a desigualdade do tipo Sobolev. Adicionalmente, estabelecemos resultados sobre regularidade e classifi cação. No caso ilimitado, analisamos a existência de solução fraca para uma classe geral de problemas que envolve crescimento crítico. No caso limitado, dedicamos nossa atenção a estudar uma classe de equações elípticas com termo logarítmico supercrítico.

Estudamos um teorema do tipo Liouville que diz que toda solução suave para a equação de gráficos mínimos definida em uma variedade Riemanniana completa com curvatura de Ricci não negativa e cuja parte negativa possui crescimento sub-linear deve ser constante. Para isto, apresentamos estimativas gradiente e estimativas integrais para potências da função volume para gráficos mínimos via uma modificação do método de iteração de De Giorgi-Nash-Moser.

Neste trabalho, estudamos resultados de convergência dos métodos clássicos do gradiente e do subgradiente, além de uma variação do método subgradiente com busca linear não monótona para funções convexas Lipschitz. O método do gradiente é um método de descida e os tamanhos de passo são escolhidos de forma exata e inexata com busca linear. O método subgradiente não é necessariamente um método de descida e os tamanhos de passo estudados são pré-fixados, não sendo escolhidos via busca linear. Assim, também estudamos um método subgradiente com busca linear não monótona que, apesar de não ser um método de descida, o possível aumento nos valores da função é controlado e os tamanhos de passo são escolhidos de forma adaptativa. Apresentamos ilustrações numéricas comparando a eficácia dos métodos.

Neste trabalho, consideramos o Problema de Valor Inicial associado à equação não linear de Schrödinger cúbica com dado inicial radial em H¹(ℝ³). Para este modelo, estuda-se a boa colocação global e o comportamento assintótico de soluções em H¹(ℝ³). Aqui analisamos condições suficientes para obtermos soluções com intervalo máximo de existência infinito e intervalo máximo de existência finito (blow-up), baseado no trabalho de Holmer-Roudenko, 2008. Além disso, usando a técnica aplicada no trabalho de Dodson-Murphy, 2017, mostramos que no caso das soluções globais estabelecidas temos a propriedade de
espalhamento quando o tempo tende a ±∞.

Este trabalho está baseado no artigo "Compact gradient Einstein-type manifolds with boundary satisfying the weakly Einstein condition" do autor Xiaomin Chen, e tem por objetivo investigar variedades tipo-Einstein gradient, compactas, com bordo não vazio e que satisfazem a condição fracamente Einstein. Tais esrtuturas foram introduzidas por Catino, Mastrolia, Monticelli e Rigoli, e aqui estudaremos resultados de rigidez para o caso de variedades com curvatura escalar constante. Concluiremos que, sob certas restrições, essas variedades serão isométricas a uma bola geodésica em um espaço forma simplesmente conexo Sn ou a um hemisfério de uma esfera redonda.

No seguinte trabalho, estudamos algumas propriedades para soluções cujo tempo máximo de existência é finito, conhecidas como soluções de \textit{blow-up}, do Problema de Valor Inicial (PVI) associado à equação de Schrödinger não-linear $L^2$-crítica

$$\begin{cases}

     i\partial _tu+\Delta u + |u|^\frac{4}{d}u=0, \hspace{2cm} x\in \mathbb{R}^d ,\, t>0\\

     u(0,\cdot)=u_0\in H^s(\mathbb{R}^d),\hspace{2.2cm} s>0.

   \end{cases}

$$

Encontramos uma cota ótima sobre a norma do dado inicial em $L^2(\mathbb{R}^d)$, para a formação de soluções de \textit{blow-up} em $H^1(\mathbb{R}^d)$ devida a Weinstein; Provamos um resultado estudado por Hmidi e Kerani, que afirma que soluções em $H^1(\mathbb{R}^d)$, que explodem em tempo finito, concentram uma certa quantidade de massa em torno de pontos do $\mathbb{R}^d$. Em seguida provamos que um fenômeno similar ocorre para $H^s(\mathbb{R}^2)$, com $s<1$, também devido a Hmidi e Kerani [\ref{HK2}]; Por fim, estudamos o comportamento de soluções de \textit{blow-up} cujo dado inicial tem massa mínima e damos uma prova alternativa do resultado de Merle a respeito da universalidade de soluções de massa mínima em $H^1(\mathbb{R}^d)$, utilizando as ideias de Hmidi e Kerani.

O objetivo deste trabalho é apresentarmos resultados de controlabilidade para equações diferenciais parciais de evolução. Mais especificamente, numa primeira etapa, estudamos uma equação do calor com não-linearidade globalmente Lipschitz com termo de memória, onde um sistema original é linearizado e em seguida o Teorema do Ponto Fixo de Schauder é aplicado para obtermos um resultado de controlabilidade aproximada. Numa segunda etapa é analisada uma equação de ondas em um domínio com fronteira variável, seguindo a estratégia de Stackelberg, onde um resultado de controlabilidade aproximada é obtida.

Neste trabalho, estudamos hipersuperfícies capilares imersas na bola euclidiana unitária, e analisamos os casos estável e instável. No caso estável, estudamos o resultado de unicidade obtido por Wang e Xia [Uniqueness of stable capillary hypersurfaces in a ball, 2019], segundo o qual as únicas hipersuperfícies capilares estáveis imersas na bola euclidiana unitária são os discos e as calotas esféricas. No caso instável, estudamos o índice de Morse associado a uma hipersuperfície, o qual é zero para as estáveis, e apresentamos o resultado obtido por Devyver [Index of the critical catenoid, 2017] onde o índice de Morse do Catenoide Crítico (superfície free-boundary) foi calculado.

Neste trabalho, apresentamos dois métodos para resolver o problema da mochila não-linear. Usando as condições de KKT, a solução é estabelecida como uma raiz da função dual que é uma função de uma variável real, linear por partes e não diferenciável. No primeiro método, propomos o algoritmo FPA, baseado em uma formulação de ponto fixo. Mostramos resultados parciais de convergência para uma solução do problema. No segundo método, propomos o algoritmo Newton suave, onde usamos a estratégia de aproximação suave da função máximo e obtemos uma aproximação suave da função dual do problema, onde a restrição de caixa é apenas com limite inferior. Mostramos que uma sequência de zeros das funções aproximações tem uma subsequência que converge para o zero da função dual e também que o algoritmo Newton suave tem convergência global.

Foram realizados experimentos numéricos que mostraram um bom desempenho do Algorimo FPA, em comparação com os algoritmos Newton-Secante, Secante, Fixação de variável e busca de mediana. Nos experimentos com o Algoritmo Newton suave, testamos duas funções de aproximação, a primeira, NNSF, mais comum no contexto de Redes Neurais  e a segunda, IPSF, mais comum nos métodos de pontos interiores, que mostraram que a estratégia é bastante promissora e sensível a escolha da função de aproximação.  

Na primeira parte deste trabalho, aplicamos vários princípios do máximo para provar resultados de unicidade e não-existência para hipersuperfícies tipo-espaço com curvatura média ponderada constante imersas em um Espaço-Tempo de Robertson-Walker generalizado (GRW) espacialmente ponderado, sob condições adequadas no Tensor de Bakry-Émery-Ricci da fibra Riemanniana.

Em seguida, provamos resultados semelhantes para sólitons do fluxo da curvatura média ponderada. Na segunda parte do trabalho, estudamos sólitons translacionais da curvatura média imersos em uma classe de produtos warpedRiemannianos obedecendo condições adequadas no tensor de Ricci da fibra. Esta classe inclui, por exemplo, os espaços Euclidiano, pseudo-hiperbólicos e Schwarzschild. Primeiro obtivemos uma versão do Princípio do  Máximo de Omori-Yau relacionado ao Laplaciano com peso, o qual foi aplicado para provar um resultado de não-existência para sólitons translacionais. Depois, aplicando um critério de parabolicidade e um resultado tipo-Liouville, provamos resultados de unicidade para sólitons translacionais.

Apresentaremos neste trabalho a boa-colocação local e global para equação de Schrödinger não-linear (NLS) i∂tu + ∆u − iλ|u| ρu = 0 em espaços L p-fraco ou também conhecidos como espaços de Marcinkiewicz. Em relação às soluções globais no tempo, estudaremos o caso em que o dado inicial é uma função homogênea ”suficientemente pequena”, e veremos que as soluções correspondentes a estes dados são invariantes por scalling ou auto-similares. Além disso, estudaremos também as propriedades de estabilidade para soluções globais no tempo, e de decaimento para soluções locais no tempo.

Nesta dissertação, estudamos diversos teoremas ergódicos que desempenham um papel importante na Teoria Ergódica, entre eles, o teorema ergódico de Birkhoff, o teorema ergódico maximal e o teorema ergódico subaditivo de Kingman. Além disso, aplicaremos tais resultados para demonstrar o teorema de Weyl e estudar o conjunto das sequências quase-normais que recentemente foi utilizado para demonstrar uma conjectura relacionada ao método das projeções alternadas.

Neste trabalho, estudamos condições necessárias e suficientes para a convergência forte do método das projeções alternadas em espaços de Hadamard. Este resultado é novo mesmo no contexto de espaços de Hilbert. Em particular, encontramos condições em que a iteração de um ponto por projeções converge fortemente e respondemos parcialmente à questão principal que motivou o artigo de Bruck (J Math Anal Appl 88:319-322, 1982). Aplicamos essa condição para generalizar o teorema de Prager para variedades de Hadamard e o teorema de Sakai para quase todas as ordens em que as projeções são aplicadas, em relação à medida de Bernoulli. Em particular, respondemos a um problema que estava em aberto à muito tempo, relacionado à convergência forte do método de projeções sucessivas em espaços de Hilbert (veja J. Convex Anal. 16, 633--640, 2009). Além disso, estudamos o método das projeções alternadas para uma sequência decrescente de conjuntos convexos encaixados em variedades de Hadamard e obtemos uma prova alternativa para a convergência do método do ponto proximal. Em espaços p-uniformemente convexos estudamos uma versão generalizada do clássico método das projeções alternadas para operadores firmemente não-expansíveis e encontramos condições suficientes para a convergência forte desse método.

Neste trabalho, apresentamos dois métodos do ponto proximal para encontrar zeros de campos de vetores possivelmente não-monótonos que são escritos como diferença de dois campos monótonos maximais em variedades de Hadamard. O primeiro método é uma extensão natural do método do ponto proximal para diferença de funções convexas e que generaliza o método do ponto proximal para campos vetoriais monótonos maximais. O segundo método é uma versão inercial do primeiro e é novo inclusive no contexto monótono em variedades de Hadamard. Para ambos os métodos, provamos que, caso existam, os pontos de acumulação da sequência gerada pelos algoritmos são soluções do problema. Com hipóteses adicionais razoáveis, estabelecemos condições suficientes para limitação e convergência global da sequência. Alguns experimentos numéricos ilustram os resultados obtidos.

Neste trabalho, apresentaremos um algoritmo de ponto proximal inercial que tem como objetivo resolver o problema de minimização DC (diferenças de funções convexas). Mostraremos a boa definição da sequência {x^k} gerada pelo algoritmo, que cada iterada dessa sequência soluciona um subproblema proposto, e que cada ponto de acumulação de {x^k} é um ponto crítico do problema de minimização DC.

Este trabalho tem por objetivo provar que métricas críticas do functional volume sobre uma variedade compacta simplesmente conexa com tensor de Bach nulo e bordo isométrico a uma e esfera padrão, deverá ser isométrica a uma bola geodésica em um espaço forma simplesmente conexo R⁴, H⁴ ou S⁴. Além disso, mostraremos que em dimensão 3 o resultado é sempre válido se considerarmos a hipótese mais fraca do tensor de Bach ter divergência livre.

O objetivo deste trabalho é estudar a caracterização da curvatura escalar de sólitons de Yamabe e sólitons de Ricci-Bourguignon, onde estes são soluções especiais do fluxo de Yamabe e do fluxo de Ricci-Bourguignon, respectivamente. Para tal feito usaremos como ferramentas teoremas do tipo Liouville com integral de Dirichlet finita, algumas hipóteses sobre o crescimento quadrático da função potencial e o uso de parabolicidade. Como aplicação da obtenção de curvatura escalar apresentaremos resultados de isometria. Além disso, com a participação de A. W. Cunha e da Fernanda Roing incluímos no presente trabalho algumas novas demonstrações alternativas que melhoram alguns destes resultados

Neste trabalho investigamos o conceito de parabolicidade em variedades Riemannianas completas com bordo.

Caracterizações em termos da capacidade, do princípio do máximo de Ahlfors e do critério integral de Kelvin-Nevanlinna-Royden são estudados, além da relação com a existência do núcleo de Green com dado de bordo to tipo Neumann ou Dirichlet.

Contribuições à Geometria Diferencial são dadas em termos de estimativas de altura e resultados do tiposlice para gráficos com curvatura média constante definidos em domínios ilimitados. Do ponto de vista da Teoria do Potencial, apresentamos condições analítico-geométricas suficientes para a validade da propriedade L^1-Liouville para funções super harmônicas positivas. Ademais, através das técnicas aqui estudadas são exibidos exemplos de variedades estocasticamente incompletas que satisfazem a propriedade L^1-Liouville.

Nesta dissertação, estudaremos algumas noções da área de topologia algébrica, com enfoque em homologia simplicial. Apresentaremos alguns resultados de fundamental importância da área de álgebra homológica, calcularemos os grupos de homologia de algumas pseudovariedades e como aplicação da teoria estudada provaremos alguns teoremas clássicos, como por exemplo o Teorema de invariância da dimensão dos espaços euclidianos por homeomorfismos e o Teorema dos Pontos Fixos de Lefschetz.

Nesta dissertação, estudamos a rigidez de esferas mínimas bidimensionais que maximizam localmente a massa de Hawking em variedades Riemannianas tridimensionais com curvatura escalar limitada inferiormente por uma constante positiva. Assumindo estabilidade estrita de tal superfície, provaremos que  existe uma vizinhança da mesma no ambiente isométrica a uma métrica de deSitter-Schwarzschild. Tal resultado foi obtido por D. Máximo e I. Nunes no artigo  Hawking mass and local rigidity of minimal two-spheres in three-manifolds.

Neste trabalho estudamos o método da decomposição de Douglas-Rachford para encontrar zero na soma de dois operadores monótonos maximais. Mostramos que tal método é um caso especial do método do ponto proximal (MPP) usando um operador chamado operador decomposição. Além disso, apresentamos uma versão modificada do MPP, derivando um outro método chamado de método de direção alternada dos multiplicadores para programação convexa. Também mostramos a relação entre o problema da viabilidade convexa e o problema de encontrar um zero na soma de operadores. Avanços desse tipo ilustram o poder e a generalidade obtidos pela adoção da teoria do operador monótono como uma estrutura conceitual. Finalmente, apresentamos algumas ilustrações numéricas.

O gráfico de uma função f definida em algum conjunto aberto do espaço euclidiano de dimensão (p+q) é dito um gráfico translacional generalizado se f pode ser expresso como a soma de duas funções independentes φ e ψ definidas em conjuntos abertos dos espaços euclidianos de dimensão p e q, respectivamente. Neste trabalhos, obtemos uma classificação dos gráficos translacionais generalizados com curvatura média constante ou curvatura Gauss-Kronecker constante.

Nesse trabalho utilizaremos o método de reflexão de Alexandrov (moving plane method) para investigar propriedades de simetria para a equação k-Hessiana. Em particular, discutiremos o problema clássico de simetria de Serrin (overdetermined Serrin problem) no qual a existência de solução para uma equação diferencial parcial sob condições de fronteira adequadas induz a simetria do domínio.

Este trabalho tem como objetivo mostrar que, se um sóliton de Ricci contrátil compacto de dimensão n, 4≤n≤6, satisfaz uma condição de integral pinçada, então, a menos de quociente, este é isométrico a esfera Sn. A prova baseia-se principalmente em estimativas associada a curvatura, desigualdade com o invariante de Yamabe e um resultado de rigidez para métricas Einstein com integral pinçada. Em dimensão 4, fazendo uso da fórmula de Chern-Gauss-Bonnet e a invariância conforme da segunda função elementar dos autovalores do tensor de Schouten, obteremos outra condição L2-pinçada que permitirá caracterizar tais sólitons de Ricci.

Neste trabalho estudaremos a equação de Korteweg-de Vries generalizada (g-KdV) 

  u_t +u_xxx + u^ku_x=0

com k = 1, 2, 3, ... .

Originalmente esta equação foi proposta com k=1 por Diederik Johannes Korteweg e Gustav de Vries. Nesse caso a equação modela propagação unidirecional de uma onda com amplitude maior que seu comprimento em um canal raso. Tal equação aparece em vários outros contextos, tais como espalhamento inverso, física de plasma e até mesmo geometria algébrica. Falaremos sobre a boa colocação para o problema de valor inicial associado à equação g-KdV para os casos k = 1, 2, 3 e 4. O argumento que utilizaremos para provar a boa colocação é conhecido como argumento do principio de contração que consiste em provar que o operador integral associado tem é uma contração e portanto tem um ponto fixo, o qual é a solução do problema. Para o caso particular k=1 estabeleceremos boa colocação também usando espaços de Bourgain.

Neste trabalho, consideramos o conceito de um sistema iterado de funções P-fracamente hiperbólico, o qual generaliza o conceito de um sistema iterado de funções fracamente hiperbólico. Provamos a existência e unicidade da medida invariante para esta classede sistemas iterados de funções. Além disso, provamos um teorema ergódico.

O objetivo desse trabalho é estudarmos a controlabilidade nula para uma equação linear do calor em um domínio limitado do R^n. Para isso, faremos uso de uma estimativa de Carleman, que nos possibilitará encontrarmos uma desigualdade de observabilidade, e consequentemente obter o controle nulo para o problema proposto.

Apresentamos um método proximal interior para resolver problemas não convexos, problemas de otimização onde a função objetivo é dada pela diferença de duas funções convexas (função DC). Para este fim, consideramos um método proximal linearizado com distância proximal como regularização. Análise de convergência de escolhas particulares de distância proximal como distância proximal de segunda ordem e distância de Bregman são consideradas.

Neste trabalho, estudamos resultados tipo-Liouville para hipersuperfícies two-sided imersas em um produto warped com densidade, com restrições sobre o tensor de Bakry-Émery-Ricci ou sobre a função altura da hipersuperfície.

Neste trabalho estudamos um problema da física-matemática que trata de um Sistema Termoelástico não-Linear com Coeficientes não-Local em espaços de Sobolev adequados, onde impõe-se condições restritivas aos dados iniciais do problema para analizarmos as questões de existência e unicidade de soluções, onde a existência é obtida via método aproximativo de Faedo-Galerkin-Lions e, usando argumentos de compacidade.Na obtenção da unicidade das soluções, usamos método de Energia. Estudamos também o decaimento exponencial da energia associada a solução do problema via método de Kormonick.

O objetivo deste trabalho é estudar os modelos físicos que descrevem o movimento de fluidos não-newtonianos a partir de hipóteses sobre a relação entre o tensor de tensões de desvio e o tensor de deformações linearizado do fluido. Em particular, demonstra-se, por meio do método de Lions-Faedo-Galerkin, existência e unicidade de solução fraca para os sistemas de equações de movimento moderado de fluidos viscoelásticos descritos pelos modelos de Maxwell e de Kelvin-Voigt. Neste último, obtém-se também regularidade da solução através de uma formulação variacional do problema de Stokes.

Nessa dissertação estudamos o problema de otimização multiobjetivo para encontrar os pontos Pareto-críticos de uma função vetorial. Para isto, é feita uma extensão do Método do Ponto Proximal considerado por Bonnel et al. (SIAM J. Optim., (2005), pp. 953-970) no sentido de que substituímos funções convexas por localmente Lispchitz. Destaca-se como o grande diferencial desse trabalho a não utilização de técnicas de escalarização para resolver o referido problema, para isso utilizamos as condições de otimalidade feitas por Minami (J. Optim. Theory Appl., 41 (1983), pp.451-461) em substituição as condições de primeira ordem para problemas de escalarização.

Neste trabalho consideramos soluções positivas para o problema de Dirichlet associado ao p-Laplaciano em um domínio limitado e suave do espaço euclidiano. Por meio da técnica iterativa de Moser obtivemos estimativas locais para soluções do operador linearizado associado, através das quais provamos desigualdades do tipo Harnack, Princípios de Máximo e de Comparação para soluções do problema de Dirichlet.

O objetivo desse trabalho é estudarmos a controlabilidade aproximada para uma equação linear da calor, via estratégia de Stackelberg - Nash, em um domínio limitado do R^N. Além disso, apresentaremos a existência, unicidade e regularidade de soluções para o problema proposto.

Neste trabalho consideramos a minimização de uma função objetivo que é a soma de um grande número de funções convexas e apresentamos dois métodos voltados para a forma mais simples deste problema e estudamos com mais profundidade, um novo método que consiste na unificação dos dois anteriores. Analisaremos também, sob algumas condições, convergência deste novo método.

Neste trabalho tratamos de estimativas para o primeiro autovalor do operador de Jacobi para hipersuperfícies com curvatura média constante. A primeira estimativa foi feita para hipersuperfícies mínimas compactas totalmente geodésicas, por James Simons em 1968. Em seguida, Chuanxi Wu (1993) melhorou essa estimativa retirando ainda a exigência de ser totalmente geodésica. Posteriormente, Perdomo ( 2002), provou o mesmo resultado de Wu, mas usando um método completamente diferente. Alias, Barros e Brasil (2005) fizeram estimativas para o primeiro autovalor em hipersuperfícies com curvatura média constante, o qual,para uma variedade de dimensão 2, dependia apenas da dimensão e da curvatura. No entanto, para dimensão maior que 3, a estimativa passa a depender também da imersão. Finalmente mostramos os resultados de Chen e Cheng (2017) que estimam o primeiro autovalor, para dimensão maior que 3, não dependendo da imersão, mas apenas da curvatura média e da dimensão.

Esta dissertação, trata de estimativas do primeiro autovalor de Steklov em variedades com bordo não vazio e curvatura de Ricci não negativa, a qual possui como referência principal o artigo “Sharp bounds for the first non-zero Steklov eigenvalues” de Qiaoling Wang e Changya Xia publicado em 2009 no periódico Journal of Functional Analysis.

Nesta dissertação, apresentaremos alguns resultados obtidos por Rafael López sobre superfícies compactas com curvatura média constante e bordo livre em um wedge. Sob a hipótese que a superfície é mergulhada ou estável, será provado que a superfície é parte de uma esfera centrada no vértice do wedge.

Neste trabalho, caracterizamos uma classe de métodos de direções viáveis na programação não-linear, através do conceito de linearização parcial da função objetivo. Baseado em um ponto viável, a função objetivo é substituída por uma função arbitrária convexa e continuamente diferenciável, e o erro é levado em conta por uma aproximação de primeira ordem do mesmo. Um novo ponto viável é definido através de uma busca linear com respeito ao objetivo original, na direção da solução do problema aproximado. Os resultados de convergência global são obtidos para buscas lineares aproximadas e exatas, com algumas de suas interpretações. Apresentamos alguns casos particulares do algoritmo geral e discutimos extensões para programação não diferenciável.

Nesse trabalho provamos a existência e unicidade de solução para um sistema não linear do tipo termoelástico com condições de acústica na fronteira. A existência de solução foi obtida aplicando o métido de Faedo-Galerkin-Lions e a unicidade via método de energia. Além disso, provamos que, sob certas hipóteses nos elementos das equações, a energia total associada ao problema decai assintoticamente quando o tempo t  tende ao infinito.

Nesta dissertação são obtidas famílias de exemplos de superfícies translacionais mínimas nos espaços homogêneos tridimensionais, hiperbólico e solúvel (Sol3). Efetivamente, são resolvidas as equações de superfícies mínimas em cada caso. Os resultados apresentados neste trabalho são extraídos dos artigos Minimal translation surfaces in hyperbolic space de Rafael López e Minimal translation surfaces is Sol3 de Rafael López e Marian Ioan Munteanu.

O operador Laplaciano discreto e períodico que denotaremos por L é definido como a  matriz circulante n por n cuja primeima linha é dada pelo vetor (2,-1,0,...,0,-1). Considerando n maior ou igual a 4 e par, temos como propriedades imediatas de L as seguintes: P1. O operador L é uma matriz tridiagonal (periodicamente extendida); P2. L é uma matriz semidefinida positiva; P3. L possui os dois seguintes autopares (autovetor, autovalor): (v,0) e (u,4), ou seja, Lv=0 e Lu=4u, onde o vetor v é o vetor de 1's e o vetor u alterna 1's e -1's.  Uma propriedade menos evidente de L é P4 (caracterização extrema): L possui norma Euclidiana mínima dentre todas as matrizes satisfazendo as propriedades P1, P2 e P3. Motivados por esta peculiaridade da matriz L abordamos neste trabalho a seguinte questão (problema de minimização): Mantendo-se as propriedades P2 e P3 qual é a matriz de norma Euclidiana mínima se P1 (largura de banda b=3) for substituída por largura de banda pentadiagonal (b=5), heptadiagonal (b=7),..., b=n+1? Primeiramente, mostra-se que a  matriz solução deste problema para uma largura de banda b qualquer (entre 3 e n+1) é também circulante. Depois disto, prova-se que a determinação de primeira linha desta matriz circulante consiste em resolver um problema de mínimos quadrados tendo n/2-1  variáveis que devem ser não negativas (ou seja, restritas ao primeiro ortante) e sujeitas  a  (n+1-b)/2 equações lineares. Soluções exatas deste problema de minimização  são dadas para os casos especiais b=3 (Laplaciano), b=5 e b=n+1. A solução para o caso pentadiagonal (b=5) pode ser fisicamente interpretada como um problema (inverso) de encontrar dois valores k_1 e k_2 de rigidez de um sistema massa-mola circular que seja estável (semidefinida positiva) e com soma do quadrado dos autovalores mínima possuindo dois  tipos de molas. Tipo 1: liga vizinhos próximos com rigidez k_1; Tipo 2: liga vizinhos de vizinhos mais próximos com rigidez k_2. Interessantemente, obtem-se k_2 <0 (negative stiffness). Um algoritmo Matlab é implementado e soluções numéricas são ilustradas por gráficos para os seis casos (b=3, 5, 7, 9, 11 e 13) que correspondem a n=12.

Neste trabalho estudamos o problema de Cauchy para um sistema acoplado de equações de Schrödinger com derivadas. A motivação para estudá-lo foi verificar se ele herda as mesmas propriedades da equação de Schrödinger com derivadas clássica. Nesse sentido, investigamos e obtivemos a boa colocação do problema com dado inicial pequeno em espaços de Besov de ordem 1/2 e de Sobolev em L^2 de ordem s>1/2. Também verificamos que o sistema possui quantidades conservadas similares àquelas da referida equação.

Neste trabalho fazemos um estudo qualitativo da existência, unicidade e regularidade da solução de uma equação de onda com potencial limitado definido em um aberto do Rⁿ . A existência se faz via método aproximativo de Faedo-Galerkin-Lions; a unicidade da solução forte se faz via método da energia e, a unicidade da solução fraca se faz via método de Visik-Ladyzhenskaya. E, usando-se as idéias de O. Y. Imanuvilov obteremos a Estimativa de Carleman e como consequência desta, obtemos a desigualdade de Observabilidade, a qual é fundamental para conseguirmos a controlabilidade exata da solução do problema via Método HUM(Hilbert Uniqueness Method.) idealizado por J. L. Lions. Finalmente, ainda como consequência da Desigualdade de Calerman, obtemos a estabilidade de Lipschitz para o problema inverso.

Neste trabalho estudamos a existência de funções extremais para a Desigualdade de Trudinger-Moser clássica quando o domínio é uma bola centrada na origem do espaço euclidiano N-dimensional. Além disso, investigamos a existência de extremais para problemas maximizantes com não-linearidades gerais que têm crescimento subcrítico ou crítico em um domínio limitado suave arbitrário de R^N. Por fim, apresentamos algumas aplicações para equações diferenciais parciais elípticas relacionadas

Estudamos nesta dissertação a existência, unicidade e estabilidade da solução para um problema misto associado a uma equação de onda não linear com condições de Dirichelet e acústica na fronteira do domínio. Fisicamente, este modelo surge no estudo de ondas acústicas em fluidos. Apresentamos a ideia física do problema e em seguida provamos a existência de solução via Método de Lions-Galerkin. A unicidade, provamos via Método da Energia e, a estabilidade das soluções usando técnicas de Haraux-Zuazua

Neste trabalho é analisada uma generalização do método de Newton com uma variável, motivada pelo método do ponto proximal com distância de Bregman, para resolução de equações não-lineares e problemas de otimização. Prova-se a convergência quadrática do método generalizado, onde um caso especial é o método de Newton clássico. São ilustradas as vantagens do método generalizado com relação ao método clássico, através de testes numéricos. Os testes fornecem uma visão de como as instâncias do método generalizado podem ser escolhidas para uma dada equação não-linear. Por último, derivamos uma expressão fechada para a expressão do erro assintótico

Nesse trabalho estudaremos a desigualdade de Trudinger-Moser clássica e algumas extensões. Além disso, investigaremos a existência e multiplicidade de soluções fracas para uma classe de problemas elípticos não-homogêneos e singulares. 

Neste trabalho usamos o Método de Unicidade Hilbertiana (HUM) para provar a controlabilidade exata para uma equação de onda com coeficientes variáveis em um domínio cilíndrico associado a um controle não nulo na fronteira lateral e condições iniciais em um espaço de Sobolev apropriado. Fazemos uso da solução fraca do problema de valor de fronteira homogêneo e da solução definida por transposição do problema não homogêneo associado, para assegurara boa definição de um operador apropriado nas condições do Teorema de Lax Milgran que garantirá o controle do prolema.

Neste trabalho definimos o Problema de Equilíbrio, denotado por PE, no mesmo cenário do problema proposto por Blum e Oettli, em 1994, que consiste em :

Neste trabalho estudamos o problema de Cauchy para a equação de Korteweg - de Vries super-simétrica (s-KdV). Mais precisamente, primeiro estudamos a boa colocação do referido problema com restrição sobre o tamanho da norma do dado inicial em espaços de Sobolev com peso  e de índice inteiro maior ou igual a três, e, por último,  provamos que sem o uso de pesos na norma do dado inicial, o problema é mal posto em espaços de Sobolev de qualquer ordem, no sentido de que a aplicação dado - fluxo não é suave. As principais ferramentas para a obtenção do primeiro resultado foram: o Teorema do Ponto Fixo para Contrações junto com as propriedades de efeito regularizantes, estimativas de Strichartz e da função maximal para fluxo da equação de Korteweg- de Vries linear. Já o segundo resultado é provado por redução ao absurdo e para isso, usamos as mesmas ferramentas da primeira parte junto com uma versão do Teorema da Função Implícita.

No estudo da Teoria de Singularidade caracterizamos os pontos críticos de germes de funções suaves e analíticas. Neste trabalho apresentamos as ferramentas introdutórias e essenciais para esta caracterização, como a Álgebra Comutativa, Funções Analíticas e Equações Diferenciais Ordinárias. A partir de um exemplo particular no caso real, apresentamos uma generalização, para o caso analítico, da C^0−suficiência de jatos de germes analíticos. Para uma tal abordagem, demonstramos vários lemas que nos levarão a associar a C^0−suficiência analítica de um jato com uma desigualdade que envolva o gradiente do respectivo germe.

Esta dissertação tem como referencia principal o artigo “ Surfaçes of Rotation with Constant extrinsic curvature in conformally flat 3-space” de Armando V. Corro, Romildo pina e Marcelo Sousa publicado no periódico Results Math em 2011 no qual eles mostram que existe uma família a um parâmetro de superfícies completas com curvatura extrínseca igual a uma constante negativa em um determinado espaço tridimensional corformemente plano, provando assim que não vale o teorema de Efimov no referido espaço.

No estudo de existência de solução para Problemas de Equilíbrio (PE), as hipóteses mais utilizadas são: a convexidade do domínio, a convexidade generalizada e a monotonicidade da função juntamente com alguma condição de continuidade fraca. Neste trabalho, apresentamos uma extensão dos conceitos de ponto crítico no sentido de Clarke e da Condição de Palais-Smale para funções de Equilíbrio. Usando essa abordagem, mostraremos a existência de solução para o (PE), primeiramente, assumindo que a função tem um ponto crítico no sentido de Clarke e, em segundo lugar, sob uma condição do tipo Palais-Smale para os casos monótono e não-monótono.

Consideramos o modelo não-linear descrito por um fluido micropolar em uma região limitada e suave com controles distribuidos com suporte em um pequeno subconjunto do domínio. Admitimos hipóteses convenientes sobre a base e introduzimos a aproximação de Galerkin para o sistema de fluidos micropolares controlável. Usando o Método da Unicidade de Hilbert combinado com um argumento clássico de ponto fixo provamos a controlabilidade exata para este sistema de dimensão finita.

No cotidiano, algumas situações surgem de maneira simultânea e é natural querermos as escolhas melhores possíveis, estas situações são modeladas em problemas de otimização multiobjetivo. Tais problemas são comuns em várias áreas de conhecimentos tais como economia e engenharias. Nesta dissertação estudaremos problemas de otimização multiobjetivo irrestrito. As funções objetivo consideradas são continuamente diferenciáveis e convexas. Para resolver estes problemas apresentaremos um método de descida para determinação de pontos ótimos do tipo Pareto. Consideraremos uma busca linear tipo Armijo para calcular o tamanho do passo de decrescimento. Mostraremos que o método converge para um ponto satisfazendo certas condições necessárias de primeira ordem para otimalidade Pareto.

A busca por soluções de equações não lineares em espaços de Banach, é objeto de interesse em várias áreas da ciência e engenharias. Devido a sua velocidade de convergência e eficiência computacional, o método de Newton e suas variações tem sido bastante utilizados para o propósito de obter soluções dessas equações. Nesta dissertação, apresentamos uma análise de convergência local do método de Newton baseada no princípio majorante de Kantorovich. Esta abordagem aprimora os resultados até então obtidos, no seguinte sentido: com as mesmas informações iniciais são apresentadas melhores estimativas para o raio de convergência. Casos especiais e exemplos numéricos são também considerados. 

O método de Gauss-Newton e suas variações são alguns dos mais eficientes métodos conhecidos para resolver problemas de mínimos quadrados não-lineares, os quais são aplicados em diversas áreas da ciência e engenharias. Nesta dissertação apresentaremos uma análise de convergência local do método de Gauss-Newton para resolver determinados sistemas de equações não lineares em espaço de Hilbert sob uma condição majorante, estudado por onde daremos ênfase nos casos em que a função majorante tem derivada convexa e no caso em que ela não tem essa hipótese, em ambos os casos veremos que o método está bem definido e converge para a solução do problema.

Neste trabalho, são apresentadas algumas propriedades do tensor curvatura sobre métricas invariantes à esquerda em grupos de Lie e ainda uma classificação completa das álgebras de Lie de dimensão 3. Os resultados estudados e desenvolvidos foram extraídos em sua maioria do artigo de John Milnor, Curvatures of left Invariant Metrics on Lie Groups, Advances in Mathematics, vol 21, n° 3, 293-329, 1976. O trabalho termina com a apresentação de alguns exemplos de grupos de Lie, com ênfase especial ao caso tridimensional.

Nesta dissertação serão apresentados alguns algoritmos que utilizam o Método do Ponto Proximal Interior para a minimização de funções quase-convexas, próprias e continuamente diferenciáveis. Os algoritmos são diferenciados na escolha da função regularizadora, a qual é denominada “tipo-distância”, a saber: Euclidiana, phi - Divergente, de Bregman e Log-Quadrática. Será provado que a sequência gerada por cada um dos algoritmos converge para um ponto estacionário da função em questão e que, sob a condição dos parâmetros de regularização convergirem a zero, obtemos que a sequência converge para a solução do problema.

O principal objetivo deste trabalho é apresentar uma descrição completa das superfícies de Weingarten lineares rotacionais na esfera euclidiana S3. Estas superfícies são caracterizadas pela relação linear aH + bK = c, onde H e K denotam as curvaturas média e Gaussina, respectivamente, e a, b e c são constantes reais.

No presente trabalho investigamos a controlabilidade nula para o operador de calor semilinear com domínio cuja fronteira se move com o tempo.

Este trabalho foi baseado no artigo [1] de Rafael López. Estudaremos superfícies de Weingarten lineares hiperbólicas de

rotação em R3 , ou seja, superfícies cuja curvatura média H e a curvatura Gaussiana K satisfazem uma relação linear da forma

aH + bK = c, onde a, b e c são constantes reais não todas nulas, e aa+4bc<0.

Neste trabalho provaremos a existência e unicidade de soluções fracas para um sistema do tipo Termo-elástico. Este trabalho foi baseado no artigo ”On a Nonlinear System” de A.O. Marinho, M.R. Clark, O.A. Lima (Applied Mathematical Sciences, Vol. 2, 2008, no.60, 2963-2972.).

Estudaremos folheações de formas espaciais por hipersuperfícies completas, com algumas restrições sobre as curvaturas médias de ordem superior. Em particular, no espaço Euclidiano, obteremos um teorema tipo-Bernstein para gráficos cujas curvaturas média e escalar não mudam de sinal, mas por outro lado, não necessariamente são constantes. Estabeleceremos também a não existência de folheações da esfera Euclidiana cujas folhas são completas e possuem curvatura escalar constante, assim estendendo um teorema de Barbosa, Kenmotsu e Oshikiri. Para o caso geral de folheações r-mínimas do espaço Euclidiano, possivelmente com um conjunto singular, utilizamos um teorema de Ferus para obter condições sob as quais as folhas não-singulares são folheadas por hiperplanos.

Dada uma função limitada superiormente f, claramente tal função atinge seu máximo quando seu domínio é um compacto numa variedade diferenciável. Mas se retirarmos a hipótese de compacidade do domínio, nem sempre podemos determinar se f atinge, pelo menos, um máximo local. Afim de recuperarmos, para domínios não compactos, as propriedades relacionadas com o gradiente, hessiano e laplaciano que os pontos de máximo possuem, fazemos tal estudo através de sequências maximizantes. Em variedades Riemannianas nos referimos a esta abordagem como Princípio do Máximo de Omori-Yau. Neste trabalho procuramos introduzir o princípio de Omori-Yau, demonstrando algumas versões que generalizaram este princípio nos últimos anos e acrescentando através do Teorema 5 uma generalização para a versão apresentada por Pigola, Rigoli e Setti. Especificamente, tomamos por base os teoremas apresentados em [3], [8] e [10]. Descrevemos também algumas das principais aplicações obtidas utilizando esta ferramenta Análise Geométrica, cuja caracterização ainda é um problema em aberto

Neste trabalho estudamos o problema de Cauchy para a equação de  Schrodinger unidimensional não linear com derivadas, com a não linearidade satisfazendo a condição  gauge nula. Provamos que o problema é localmente bem posto no espaço de Sobolev H^1/ 2 (R). O método depende da transformada gauge para eliminar o termo com derivadas da parte não linear e de estimativas de efeito  regularizante da equação  de Schrodinger linear.

Neste trabalho estuda-se a existência e unicidade local de solução do problema misto associado a um sistema não-linear abstrato.

Nesta dissertação, inicialmente apresentamos o Algoritmo do Ponto Proximal sem restrições para encontrar zeros de Operadores Monótonos Maximais . Em seguida, substituindo a norma euclideana pela distância de Bregman e apresentamos o Algoritmo do Ponto Proximal com Distância de Bregman (Generalizado) para resolver o Problema de Desigualdade Variacional .

Nesse trabalho provamos uma generalização do Teorema de Alexandrov, obtido por Antonio Ros e Sebastian Montiel, para curvatura de ordem superior. Mais precisamente, provaremos o seguinte resultado:

Uma hipersuperfície compacta n-dimensional mergulhada ou no espaço Euclidiano ou no espaço hiperbólico ou num hemisfério aberto da esfera unitária com r-ésima curvatura média constante, para algum r = 1, . . . , n, deve ser uma hiperesfera geodésica.