Banca de DEFESA: LIVIO LEANDRO AVELINO DE OLIVEIRA

Uma banca de DEFESA de MESTRADO foi cadastrada pelo programa.
DISCENTE: LIVIO LEANDRO AVELINO DE OLIVEIRA
DATA: 14/09/2016
HORA: 16:00
LOCAL: Auditório do Departamento de Matemática
TÍTULO:

Matrizes de norma mínima satisfazendo certas restrições do tipo banda e espectrais -- caracterização extrema do operador Laplaciano discreto e periódico

PALAVRAS-CHAVES:

Problema de minimização envolvendo matrizes, matrizes circulantes e de banda, operador Laplaciano discreto, problemas de norma mínima, Restrição na transformada de Fourier, rigidez negativa.

PÁGINAS: 58
GRANDE ÁREA: Ciências Exatas e da Terra
ÁREA: Matemática
RESUMO:

O operador Laplaciano discreto e períodico que denotaremos por L é definido como a  matriz circulante n por n cuja primeima linha é dada pelo vetor (2,-1,0,...,0,-1). Considerando n maior ou igual a 4 e par, temos como propriedades imediatas de L as seguintes: P1. O operador L é uma matriz tridiagonal (periodicamente extendida); P2. L é uma matriz semidefinida positiva; P3. L possui os dois seguintes autopares (autovetor, autovalor): (v,0) e (u,4), ou seja, Lv=0 e Lu=4u, onde o vetor v é o vetor de 1's e o vetor u alterna 1's e -1's.  Uma propriedade menos evidente de L é P4 (caracterização extrema): L possui norma Euclidiana mínima dentre todas as matrizes satisfazendo as propriedades P1, P2 e P3. Motivados por esta peculiaridade da matriz L abordamos neste trabalho a seguinte questão (problema de minimização): Mantendo-se as propriedades P2 e P3 qual é a matriz de norma Euclidiana mínima se P1 (largura de banda b=3) for substituída por largura de banda pentadiagonal (b=5), heptadiagonal (b=7),..., b=n+1? Primeiramente, mostra-se que a  matriz solução deste problema para uma largura de banda b qualquer (entre 3 e n+1) é também circulante. Depois disto, prova-se que a determinação de primeira linha desta matriz circulante consiste em resolver um problema de mínimos quadrados tendo n/2-1  variáveis que devem ser não negativas (ou seja, restritas ao primeiro ortante) e sujeitas  a  (n+1-b)/2 equações lineares. Soluções exatas deste problema de minimização  são dadas para os casos especiais b=3 (Laplaciano), b=5 e b=n+1. A solução para o caso pentadiagonal (b=5) pode ser fisicamente interpretada como um problema (inverso) de encontrar dois valores k_1 e k_2 de rigidez de um sistema massa-mola circular que seja estável (semidefinida positiva) e com soma do quadrado dos autovalores mínima possuindo dois  tipos de molas. Tipo 1: liga vizinhos próximos com rigidez k_1; Tipo 2: liga vizinhos de vizinhos mais próximos com rigidez k_2. Interessantemente, obtem-se k_2 <0 (negative stiffness). Um algoritmo Matlab é implementado e soluções numéricas são ilustradas por gráficos para os seis casos (b=3, 5, 7, 9, 11 e 13) que correspondem a n=12.

MEMBROS DA BANCA:
Interno - 1331064 - ISAIAS PEREIRA DE JESUS
Interno - 1224804 - JURANDIR DE OLIVEIRA LOPES
Presidente - 1551407 - MARCOS VINICIO TRAVAGLIA
Interno - 1492512 - ROGER PERES DE MOURA